MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÂNTICA TENSORIAL DIMENSIONAL RELATIVISTA DE CAMPOS.

MECÃNICA GRACELI GERAL - QTDRC.

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$\psi ^{*}$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

[

$\psi ^{*}$

$TeoriaInteraçãomediadorMagnitude relativaComportamentoFaixaCromodinâmicaForça nuclear forteGlúon10411/r71,4 × 10-15 mEletrodinâmicaForça eletromagnéticaFóton10391/r2infinitoFlavordinâmicaForça nuclear fracaBósons W e Z10291/r5 até 1/r710-18 mGeometrodinâmicaForça gravitacionalgráviton101/r2infinito$

Teoria	Interação	mediador	Magnitude relativa	Comportamento	Faixa
Cromodinâmica	Força nuclear forte	Glúon	1041	1/r7	1,4 × 10-15 m
Eletrodinâmica	Força eletromagnética	Fóton	1039	1/r2	infinito
Flavordinâmica	Força nuclear fraca	Bósons W e Z	1029	1/r5 até 1/r7	10-18 m
Geometrodinâmica	Força gravitacional	gráviton	10	1/r2	infinito

$G* = OPERADOR DE DIMENSÕES DE GRACELI.$

DIMENSÕES DE GRACELI SÃO TODA FORMA DE TENSORES, ESTRUTURAS, ENERGIAS, ACOPLAMENTOS, , INTERAÇÕES E CAMPOS, DISTRIBUIÇÕES ELETRÔNICAS, ESTADOS FÍSICOS, ESTADOS QUÂNTICOS, ESTADOS FÍSICOS DE ENERGIAS DE GRACELI, E OUTROS.

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÂNTICA TENSORIAL DIMENSIONAL RELATIVISTA DE CAMPOS. EM :

Ação de Einstein–Hilbert- Graceli.

A ação de Einstein–Hilbert ou ação de Hilbert na relatividade geral é uma ação que torna eficiente as equações de campo de Einstein através do princípio da mínima ação. Segundo a convenção de sinal da teoria da relatividade, esta ação pode ser escrita como:^[1]

S=-{1 \over 2\kappa }\int R{\sqrt {-g}}d^{4}x\;,

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

onde $�$ é o determinante do tensor métrico, $�$ é o escalar de curvatura de Ricci, e $\kappa =8\pi Gc^{-4}$ , onde $�$ é a constante gravitacional de Newton e $�$ é a constante da velocidade da luz no vácuo. A integral é dada sobre o espaço-tempo.

Esta ação foi inicialmente proposta por David Hilbert em 1915.

Definição[editar | editar código-fonte]

A derivação de equações a partir de uma ação possui várias vantagens. Primeiro ele possibilita uma fácil unificação da teoria da relatividade geral com outras teorias de campo clássicas (como por exemplo a equações de Maxwell, que é também formulada em termos de ação. Neste processo a derivação de uma ação identifica um candidato natural para o acoplamento do termo fonte da métrica de campos. Segundo, a ação possibilita uma fácil identificação da energia conservada através teorema de Noether pelo estudo simétrico da ação.

Na relatividade geral, a ação é normalmente definida como uma função de campo e a conexão é dada pela conexão de Levi-Civita. O formalismo de Cartan da relatividade geral define a métrica e a conexão como sendo independentes, o que torna possível de se incluir campos de matéria fermiônica com spin não inteiros.

Derivação das equação de campo de Einstein[editar | editar código-fonte]

Suponha que toda ação da teoria seja dada pelo termo de Einstein-Hilbert mais um termo ${\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }$ que descreva qualquer campo de matéria que apareça na teoria.

S=\int \left[{1 \over 2\kappa }\,R+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right]{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

O princípio de Hamilton então indica que a variação destas ações com respeito à métrica inversa é zero, ou seja

{\begin{aligned}0&=\delta S\\&=\int \left[{1 \over 2\kappa }{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}R)}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}}\right]\delta g^{\mu \nu }\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int \left[{1 \over 2\kappa }\left({\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {R}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}\right)+{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}}\right]\delta g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x.\end{aligned}}

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Já que estas equação devem obedecer qualquer variação $\delta g^{\mu \nu }\$ , isto implica que

{\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {R}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2\kappa {\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}},

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é a equação de movimento para o campo métrico. O lado direito desta equação é, por definição, proporcional ao tensor de energia-momento,

T_{\mu \nu }:={\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }.

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Variações do tensor de curvatura, do tensor de Ricci e do escalar de Ricci[editar | editar código-fonte]

Para calcular as variações do escalar de Ricci calcula-se primeiro a variação do tensor de curvatura e a variação do tensor de Ricci. O tensor de curvatura é definido como

{R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda },

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Já que o tensor de curvatura depende apenas da conexão de Levi-Civita $\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }$ , a variação do tensor de curvatura pode ser calculado como,

\delta {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\delta \Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\delta \Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }.

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Agora temos $\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\rho }$ que é a diferença de duas conexões, isto é um tensor e pode-se calcular isto como derivadas convariantes,

\nabla _{\lambda }(\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\rho })=\partial _{\lambda }(\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\rho })+\Gamma _{\sigma \lambda }^{\rho }\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\sigma }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\sigma }\delta \Gamma _{\sigma \mu }^{\rho }-\Gamma _{\mu \lambda }^{\sigma }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Observa-se agora que a expressão da variação do tensor de curvatura acima é igual à diferença de ambos os termos,

\delta R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=\nabla _{\mu }(\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho })-\nabla _{\nu }(\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }).

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Agora pode-se obter a variação do tensor de curvatura de Ricci simplesmente pela contração dos dois índices da variação do tensor de curvatura,

\delta R_{\mu \nu }\equiv \delta R^{\rho }{}_{\mu \rho \nu }=\nabla _{\rho }(\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\rho })-\nabla _{\nu }(\delta \Gamma _{\rho \mu }^{\rho }).

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

O escalar de Ricci é definido como

R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }.\!

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Logo sua variação com respeito a métrica inversa $g^{\mu \nu }$ é obtida por

{\begin{aligned}\delta R&=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g^{\mu \nu }\delta R_{\mu \nu }\\&=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+\nabla _{\sigma }\left(g^{\mu \nu }\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\sigma }-g^{\mu \sigma }\delta \Gamma _{\rho \mu }^{\rho }\right)\end{aligned}}

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Na segunda linha utilizou-se o último resultado obtido para a variação de curvatura de Ricci e a compatibilidade métrica do convariante derivativo, $\nabla _{\sigma }g^{\mu \nu }=0$ .

O último termo $\nabla _{\sigma }(g^{\mu \nu }\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\sigma }-g^{\mu \sigma }\delta \Gamma _{\rho \mu }^{\rho })$ é uma derivada total e pelo teorema de Stokes obtem-se,

{\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}=R_{\mu \nu }.

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Variação do determinante[editar | editar código-fonte]

A formula de Jacobi para diferenciação entre determinantes, nos dá:

\,\!\delta g=g\,g^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

ou pode-se transformar num sistema de coordenadas, onde $g_{\mu \nu }\!$ é diagonal e então aplica-se o produto para se diferenciar os fatores da diagonal principal.

Então obtém-se

{\begin{aligned}\delta {\sqrt {-g}}&=-{\frac {1}{2{\sqrt {-g}}}}\delta g&={\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}(g^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu })&=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}(g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }),\end{aligned}}

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e conclui-se que

{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}=-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }.

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Equação de movimento[editar | editar código-fonte]

Após se calcular todas as variações acima, pode-se inferir delas a equação de movimento para campos métricos para, obtendo-se,

R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu },

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que é a equação de campo de Einstein e

\kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

foi escolhida porque para limites não relativísticos ela respeita a lei da gravitação universal, onde G é a constante gravitacional.

Constante cosmológica[editar | editar código-fonte]

Algumas vezes, uma constante cosmológica A é incluída na função de Lagrange então para a nova ação

S=\int \left[{1 \over 2\kappa }\left(R-2\Lambda \right)+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right]{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x

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onde a equação de campo

R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }\,.

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Tendo formulado a versão relativista e geométrica dos efeitos da gravidade, a questão da fonte da gravidade permanece. Na gravidade newtoniana, a fonte é massa. Na relatividade especial, a massa acaba por ser parte de uma quantidade mais geral chamada de tensor de energia-momento, que inclui densidades de energia e de momento, bem como tensão: pressão e cisalhamento.^[31] Usando o princípio da equivalência, este tensor é prontamente generalizado para o espaço-tempo curvo. Com base na analogia com a gravidade newtoniana geométrica, é natural supor que a equação de campo para a gravidade relaciona esse tensor com o tensor de Ricci, que descreve uma classe particular de efeitos de maré: a mudança de volume para uma pequena nuvem de partículas de teste que estão inicialmente em repouso e depois caem livremente. Na relatividade especial, a conservação de energia-momento corresponde à afirmação de que o tensor de energia-momento é livre de divergência. Essa fórmula também é prontamente generalizada para o espaço-tempo curvo, substituindo as derivadas parciais por suas contrapartes curvadas-múltiplas, derivadas covariantes estudadas na geometria diferencial. Com essa condição adicional — a divergência covariante do tensor energia-momento, e, portanto, de qualquer coisa que esteja do outro lado da equação, é zero — o conjunto mais simples de equações é chamado de equações (de campo) de Einstein:

Equações de campo de Einstein

G_{\mu \nu }\equiv R_{\mu \nu }-{\textstyle 1 \over 2}R\,g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }\,

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Do lado esquerdo está o tensor de Einstein, uma co $R_{\mu \nu }$

R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }\,

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

é a curvatura escalar. O próprio tensor de Ricci está relacionado com o tensor de curvatura de Riemann mais geral

R_{\mu \nu }={R^{\alpha }}_{\mu \alpha \nu }.\,

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Do lado direito, $T_{\mu \nu }$ $T_{\mu \nu }$ é o tensor energia-momento. Todos os tensores são escritos em notação de índices abstratos.^[32] Combinando a previsão da teoria com resultados observacionais para órbitas planetárias ou, equivalentemente, assegurando que o limite de gravidade fraca e baixa velocidade é a mecânica newtoniana, a constante de proporcionalidade pode ser fixada como κ = 8πG/c⁴, com G a constante gravitacional e c a velocidade da luz.^[33] Quando não há nenhuma matéria presente, de modo que o tensor de energia-momento desaparece, os resultados são as equações de vácuo de Einstein,

R_{\mu \nu }=0.\,

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Na relatividade geral, o deslocamento do periélio σ, expresso em radianos por revolução, é dado aproximadamente por:^[85]

\sigma ={\frac {24\pi ^{3}L^{2}}{T^{2}c^{2}(1-e^{2})}}\ ,

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

onde

$�$ é o semieixo maior
$�$ é o período orbital
$�$ é a velocidade da luz
$�$ é a excentricidade orbital

As Equações de Friedmann são um conjunto de equações em cosmologia física que governam a expansão métrica do espaço em modelos homogêneos e isotrópicos do Universo dentro do contexto da Teoria Geral da Relatividade. Foram apresentadas por Alexander Friedman em 1922^[1] a partir das equações de campo de Einstein para a métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker e um fluido com uma densidade de energia ( $\rho$ $\rho$ ) e uma pressão ( $�$ $p$ ) dadas. As equações para curvatura espacial negativa foram dadas por Friedmann em 1924.^[2]

Pressupostos[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker

As equações de Friedmann começam com a hipótese simplificadora de que o universo é espacialmente homogêneo e isotrópico, i.e. o Princípio Cosmológico; empiricamente, isto é justificado em escalas maiores que ~100 Mpc. O Princípio Cosmológico implica que a métrica do universo deve ser da forma:

ds^{2}={a(t)}^{2}ds_{3}^{2}-dt^{2}

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

onde $ds_{3}^{2}$ é uma métrica tridimensional que deve ser de um (a) espaço plano, (b) uma esfera de curvatura positiva constante ou (c) um espaço hiperbólico com curvatura negativa constante. O parâmetro $�$ discutido abaixo toma o valor 0, 1, -1 nestes três casos, respectivamente. É este fato que nos permite falar de uma forma sensata de um "fator de escala", $a(t)$ .

As equações de Einstein agora relacionam a evolução deste fator de escala para a pressão e energia da matéria no universo. As equações resultantes são descritas abaixo.

Equações[editar | editar código-fonte]

As equações são:

H^{2}\equiv \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G\rho +\Lambda }{3}}-K{\frac {c^{2}}{a^{2}}}

3{\frac {\ddot {a}}{a}}=\Lambda -4\pi G(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}})

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

onde $\Lambda$ é a constante cosmológica possivelmente causada pela energia do vazio, $�$ é a constante gravitacional, $�$ $c$ é a velocidade da luz, $�$ $a$ é o fator de escala do Universo e $�$ $K$ é a curvatura gaussiana quando $a=1$ $a=1$ (p.ex. hoje, na atualidade). Se a forma do universo é hiperesférica e $�$ $R$ é o raio de curvatura ( $R_{0}$ $R_{0}$ no momento atual), então $a=R/R_{0}$ $a=R/R_{0}$ . Geralmente, $K \over a^{2}$ é a curvatura gaussiana. Se $�$ é positiva, então o Universo é hiperesférico. Se $�$ $K$ é zero, o Universo é plano e se $�$ $K$ é negativo o Universo é hiperbólico. Note-se que $\rho$ $\rho$ e $�$ $p$ são função de $�$ $a$ . O parâmetro de Hubble, $�$ $H$ , é a velocidade de expansão do universo.

Estas equações às vezes se simplificam redefinindo a densidade de energia e a pressão:

$\rho \rightarrow \rho -{\frac {\Lambda }{8\pi G}}$ $p\rightarrow p+{\frac {\Lambda c^{2}}{8\pi G}}$

para obter:

H^{2}\equiv \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -K{\frac {c^{2}}{a^{2}}}

3{\frac {\ddot {a}}{a}}=-4\pi G(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}})

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

O parâmetro de Hubble pode mudar no tempo se outros membros da equação são dependentes do tempo (em particular a densidade de energia, a energia do vazio e a curvatura). Avaliando o parâmetro de Hubble no momento atual resulta que a constante de Hubble que é a constante de proporcionalidade da lei de Hubble. Aplicado a um fluido com uma equação de estado dada, as equações de Friedmann dão como resultado a evolução no tempo e a geometria do Universo como função da densidade do fluido.

Alguns cosmólogos chamam à segunda destas duas equações a equação de aceleração e reservam o termo equação de Friedmann só para a primeira equação.

O parâmetro de densidade[editar | editar código-fonte]

O parâmetro de densidade, $\Omega$ , se define como a relação da densidade atual (ou observada) $\rho$ $\rho$ relacionado à densidade crítica $\rho _{c}$ $\rho _{c}$ do Universo de Friedmann. Uma expressão para a densidade crítica se encontra assumindo que $\Lambda$ é zero (como é para todos os Universos de Friedmann básicos) e estabelecendo a curvatura $�$ $K$ igual a zero. Quando se substituem estes parâmetros na primeira equação de Friedmann encontramos que:

\rho _{c}={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

E a expressão para o parâmetro de densidade (útil para comparar diferentes modelos cosmológicos) se obtém que é:

\Omega \equiv {\frac {\rho }{\rho _{c}}}={\frac {8\pi G}{3H^{2}}}\rho

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Este termo originalmente foi utilizado como uma maneira de determinar a geometria do campo no que $\rho _{c}$ $\rho _{c}$ é a densidade crítica para a qual a geometria é plana. Assumindo uma densidade de energia do vazio nula, se $\Omega$ é maior que um, a geometria é fechada e o Universo eventualmente parará sua expansão e então se colapsará. Se $\Omega$ é menor que um, será aberto e o Universo se expandirá para sempre. Entretanto, também se podem sintetizar os termos de curvatura e da energia do vazio numa expressão mais geral para $\Omega$ no caso de que este parâmetro de densidade de energia seja exatamente igual à unidade. Então é uma questão de medir os diferentes componentes, normalmente designados por sub-índices. De acordo com o modelo Lambda-CDM, há importantes componentes de $\Omega$ devido a bárions, matéria escura fria e energia escura. A geometria do espaço-tempo foi medida pelo satélite WMAP estando próxima de ser uma geometria plana, o que quer dizer, que o parâmetro de curvatura $�$ $K$ é aproximadamente zero.

A primeira equação de Friedmann frequentemente se escreve formalmente com os parâmetros de densidade.

{\frac {H^{2}}{H_{0}^{2}}}=\Omega _{R}a^{-4}+\Omega _{M}a^{-3}+\Omega _{\Lambda }-Kc^{2}a^{-2}

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Onde, $\Omega _{R}$ é a densidade de radiação atual, $\Omega _{M}$ é a densidade da matéria (escura mais a bariónica) atual e $\Omega _{\Lambda }$ é a constante cosmológica ou a densidade do vazio atual.

Equação de Friedmann reescalada[editar | editar código-fonte]

Estabelecendo $a={\tilde {a}}a_{0},\rho _{c}=3H_{0}^{2}/8\pi G,\rho =\rho _{c}\Omega ,t={\tilde {t}}/H_{0},\Omega _{c}=-K/H_{0}^{2}a_{0}^{2}$ onde $a_{0}$ e $H_{0}$ são em separado o fator de escala e o parâmetro de Hubble atuais. Então podemos dizer que:

{\frac {1}{2}}\left({\frac {d{\tilde {a}}}{d{\tilde {t}}}}\right)^{2}+U_{\rm {eff}}({\tilde {a}})={\frac {1}{2}}\Omega _{c}

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

onde $U_{eff}({\tilde {a}})=\Omega {\tilde {a}}^{2}/2$ . Para qualquer forma do potencial efetivo $U_{eff}({\tilde {a}})$ , há uma equação de estado $p=p(\rho )$ que a produzirá.

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